SEGUNDA PARTE DA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA MATEMÁTICA NA ESCOLA SUPERIOR PEDAGÓGICA DO CUANDO CUBANGO - ANGOLA

Autor: MSc. José Luis Sabonete Calulo  

Docente da Escola Superior Pedagógica do Cuando Cubango, com a categoria de Assistente

 E-mail: jsabonetecalulo@gmail.com/ sabonetejluis1@hotmail.com

Resumo

Este artigo tem como finalidade, abordar temáticas relacionadas com a unidade curricular Análise Matemática I, facilitando assim, a compreensão dos tipos de funções e interpretação, contribuindo para alcançar o perfil de um profissional à altura de satisfazer as exigências da sociedade. Por outro lado, este artigo tem como finalidade, resumir o estudo das principais funções abordadas ao longo dos níveis anteriores. Todavia, faremos referência aos aspectos relacionados com a transformação de funções, deste o ponto de vista teórico, assim como, os relacionados com a prática de exercícios. Finalmente, apresentamos as actividades autónomas dos estudantes, conclusões, recomendações e bibliografia.

 

Tipos de funções

Neste artigo, faremos abordagem  das seguintes funções:

•          Função injetora ou injetiva

Nessa função, cada elemento do domínio (x) associa-se a um único elemento da imagem f(x). Todavia, podem existir elementos do contradomínio que não são imagem. Quando isso acontece, dizemos que o contradomínio e imagem são diferentes. Veja um exemplo:

•          Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-1,5, +2, +8}
•          Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {A, C, D}
•          Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {A, B, C, D}

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•          Função Sobrejectora ou sobrejectiva

Na função sobrejectiva, todos os elementos do domínio possuem um elemento na imagem. Pode acontecer de dois elementos do domínio possuírem a mesma imagem. Nesse caso, imagem e contradomínio possuem a mesma quantidade de elementos.

•          Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-10, 2, 8, 25}
•          Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C}
•          Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C}

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•          Função bijectora ou bijectiva

Essa função é ao mesmo tempo injectora e sobrejectora, pois, cada elemento de x relaciona-se a um único elemento de f(x). Nessa função, não acontece dois números distintos possuírem a mesma imagem, e o contradomínio e a imagem possuem a mesma quantidade de elementos.

•          Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-12, 0, , 5}
•          Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C, D}
•          Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C, D}

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 Até ao último ano do Ensino Médio ou equiparado, geralmente estudam-se diferentes funções, onde destacamos algumas:

1 – Função constante;

2 – Função par;

3 – Função ímpar;

4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau;

5 – Função Linear;

6 – Função crescente;

7 – Função decrescente;

8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau;

9 – Função modular;

10 – Função exponencial;

11 – Função logarítmica;

12 – Funções trigonométricas.

Mostraremos agora o gráfico e a fórmula geral de cada uma das funções referenciadas acima:

1 - Função constante

Na função constante, todo valor do domínio (x) tem a mesma imagem (y).

Fórmula geral da função constante:

f(x) = c

x = Domínio

f(x) = Imagem

c = constante, que pode ser qualquer número do conjunto dos reais.

Exemplo de gráfico da função constante: f(x) = 2

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2 – Função Par

A função par é simétrica em relação ao eixo vertical, ou seja, à ordenada y. Entenda simetria como sendo uma figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente.

Fórmula geral da função par:

f(x) = f(- x)

x = domínio

f(x) = imagem

- x = simétrico do domínio

Exemplo de gráfico da função par: f(x) = x^2

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3 – Função ímpar

A função ímpar é simétrica (figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente) em relação ao eixo horizontal, ou seja, à abscissa x.

Fórmula geral da função ímpar

f(– x) = – f(x)

– x = domínio

f(– x) = imagem

- f(x) = simétrico da imagem

Exemplo de gráfico da função ímpar: f(x) = 3x

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4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau

Para saber se uma função é polinomial do primeiro grau, devemos observar o maior grau da variável x (termo desconhecido), que sempre deve ser igual a 1. Nessa função, o gráfico é uma recta. Além disso, ela possui: domínio x, imagem f(x) e coeficientes a e b.

Fórmula geral da função afim ou polinomial do primeiro grau

f(x) = ax + b

x = domínio

f(x) = imagem

a = coeficiente

b = coeficiente

Exemplo de gráfico da função polinomial do primeiro grau: f(x) = 4x + 1

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5 – Função Linear

A função linear tem sua origem na função do primeiro grau (f(x) = ax + b). Trata-se de um caso particular, pois b sempre será igual a zero.

Fórmula geral da função linear

f(x) = ax

x = domínio

f(x) = imagem

a = coeficiente

Exemplo de gráfico da função linear: f(x) = -x/3

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6 – Função crescente

A função polinomial do primeiro grau será crescente quando o coeficiente a for diferente de zero e maior que um (a > 1).

Fórmula geral da função crescente

f(x) = ax + b

x = domínio

f(x) = imagem

a = coeficiente sempre positivo

b = coeficiente

Exemplo de gráfico da função crescente: f(x) = 5x

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7 – Função decrescente

Na função decrescente, o coeficiente a da função do primeiro grau (f(x) = ax + b) é sempre negativo.

Fórmula geral da função decrescente

f(x) = - ax + b

x= domínio/ incógnita

f(x) = imagem

- a = coeficiente sempre negativo

b = coeficiente

Exemplo de gráfico da função decrescente: f(x) = - 5x

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8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau

Identificamos que uma função é do segundo grau quando o maior expoente que acompanha a variável x (termo desconhecido) é 2. O gráfico da função polinomial do segundo grau sempre será uma parábola. A sua concavidade muda de acordo com o valor do coeficiente a. Sendo assim, se a é positivo, a concavidade é para cima e, se for negativo, é para baixo.

Fórmula geral da função quadrática ou polinomial do segundo grau

f(x) = ax2 + bx + c

x = domínio

f(x) = imagem

a = coeficiente que determina a concavidade da parábola.

b = coeficiente.

c = coeficiente.

Exemplo de gráfico da função polinomial do segundo grau: f(x) = x^2 – 6x + 5

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9 – Função modular

A função modular apresenta o módulo, que é considerado o valor absoluto de um número e é caracterizado por | |. Como o módulo sempre é positivo, esse valor pode ser obtido tanto negativo quanto positivo. Exemplo: |x| = + x ou |-x| = x.

Fórmula geral da função modular

f(x) = x, se x≥ 0

ou

f(x) = – x, se x < 0

x = domínio

f(x) = imagem

- x = simétrico do domínio

Exemplo de gráfico da função modular: f(x) =             

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10 – Função exponencial

Uma função será considerada exponencial quando a variável x estiver no expoente em relação à base de um termo numérico ou algébrico. Caso esse termo seja maior que 1, o gráfico da função exponencial é crescente. Mas se o termo for um número entre 0 e 1, o gráfico da função exponencial é decrescente.

Fórmula geral da função exponencial

f(x) = ax

a > 1 ou 0 < a < 1

x = domínio

f(x) = imagem

a = Termo numérico ou algébrico

Exemplo de gráfico da função exponencial crescente: f(x) = (2)^x  para a = 2

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Exemplo de gráfico da função exponencial decrescente: f(x) = (1/2)^x para a = ½

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11 - Função logarítmica

Na função logarítmica, o domínio é o conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio é o conjunto dos elementos dependentes da função, sendo todos números reais.

Fórmula geral da função logarítmica

f(x) = loga x

a = base do logaritmo

f(x) = Imagem/ logaritmando

x = Domínio/ logaritmo

Exemplo de gráfico da função logarítmica: f(x) = log (5x - 6)

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12 – Funções trigonométricas

As funções trigonométricas são consideradas funções angulares e são utilizadas para o estudo dos triângulos e em fenômenos periódicos. Podem ser caracterizadas como razão de coordenadas dos pontos de um círculo unitário. As funções consideradas elementares são:

 Seno: f(x) = sen x

 Cosseno: f(x) = cos x

 Tangente: f(x) = tg x

Exemplo de gráfico da função trigonométrica seno: f(x) = senx

O gráfico da função y = sen x é chamado senoide.

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Resumindo, temos:

1- Função y = sen x ou f(x) = sen x

2- O domínio é D(f) = IR

3- O conjunto-imagem é Im(f) = [-1;1].

4- A função é periódica, de período 2π.

5- O sinal da função é:

                  positivo no 1º e 2º quadrantes;

                  negativo no 3º e 4º quadrantes.

6- A função é ímpar.

7- A função é crescente no 1º e 4º quadrantes e decrescente no 2º e 3º quadrantes.

            Exemplo: Mostre que a função definida por f(x)=sen(x) é ímpar, isto é, sen(-a)=-sen(a), para qualquer a real.

sen(-a)	=	sen(2-a)
	=	sen(2).cos(a) - cos(2).sen(a)
	=	0 . cos(a) - 1 . sen(a)
	=	-sen(a)

Exemplo de gráfico da função trigonométrica cosseno: f(x) = cosx

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Resumindo temos:

1- Função y = cos x ou f(x) = cos x

2- O domínio é D(f) = R

3- O conjunto imagem é Im(f) = [-1;1]

4- A função é periódica de período 2π.

5- O sinal da função é:

                    positivo no 1º e 4º quadrantes;

                    negativo no 2º e 3º quadrantes.

6 - A função é função par.

7- A função é crescente no 3º e 4º quadrantes e decrescente no 1° e 2º quadrantes.

Exemplo: Mostre que a função definida por f(x)=cos(x) é par, isto é, cos(-a) = cos(a), para qualquer a real.

cos(-a)	=	cos(2-a)
	=	cos(2).cos(a) + sen(2).sen(a)
	=	1.cos(a) + 0.sen(a)
	=	cos(a)

Exemplo de gráfico da função tangente: f(x) = tg (x)                                                      

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Resumindo temos:

1- Função y = tg x ou f(x) = tg x

2- O domínio é D(f) = {x E R/ x# π/2 + k . π, k E Z}

3- O conjunto imagem é Im(f) = R.

4- A função é periódica, de período π.

5- O sinal da função é:

                   positivo no 1º e 3º quadrantes;

                   negativo no 2º e 4º quadrantes.

6- A função é uma função Ímpar.

7- A função é crescente em todos os quadrantes.

Resumo

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	y=senx	y=cosx	y=tgx
Domínio	Ver em PDF	Ver em PDF	Ver em PDF
Imagem	Ver em PDF	Ver em PDF	Ver em PDF
Período	Ver em PDF	Ver em PDF	Ver em PDF

Transformações dos gráficos

Sejam as funções:   f(x)=A+B*sen(Cx) ou  f(x)=A+B*cos(Cx) 

A......Desloca o gráfico A unidades para cima quando A for maior que zero ou para baixo quando A for menor que zero (A<0). Afecta a imagem. A recta  é um eixo de simetria da curva.

B.....Altera a amplitude sem alterar o período. Afecta a imagem. Reflecte o gráfico em torno eixo de simetria se negativo.

C..... Altera o período. Não afecta a imagem. .

Exercícios

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Resolução

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2.      Esboce o gráfico da função .

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Trabalho autónomo do Estudante:  VER EM PDF

Faça analise das demais propriedades do gráfico acima. D

Represente graficamente as seguintes funções no mesmo referencial. E

Respostas dos trabalhos autónomos dos Estudantes

Trabalho autónomo do Estudante: E

Conclusões

·         Este artigo é de vital importância para o aperfeiçoamento de habilidades em temáticas relacionadas ao estudo de funções e não só;

·         Os exercícios ora apresentados, apresentam uma graduação, que possibilita a apropriação do conhecimento por parte do estudante;

·         As actividades autónomas apresentadas, visam potenciar os estudantes, com ferramentas fundamentais para o desenvolvimento do pensamento lógico, e concomitantemente, as habilidades intelectuais.

Recomendações

·         Que o presente artigo, sirva de material de apoio aos estudantes do curso de Ensino da Matemática da Escola Superior Pedagógica do Cuando Cubango e não só;

·         Que outros investigadores continuem a investigar estas temáticas, por forma a enriquecer as fontes de consultas;

·         Que os leitores deste artigo, façam uma análise critica construtiva, visando a melhoria e enriquecimento do mesmo.

Bibliografia

Demidovitch, B. (1993). Problemas e Exercícios de Análise Matemática. Lisboa - Portugal: Escolar Editora.

Maqueira, R., & Mrtínez, C. R. (2003). Laboratório de Matemática Superior. La Habana: Editorial Felix Vareira.

Stewart, J. (2009). Cálculo con Trnscendentes Temperanas. Habana: Editorial Félix Varela.

Sydsaeter, K., & Hammond, P. J. (2003). Matemáticas para el Análisis Económico- Volumen I. La Habana: Editórial Félix Varela.