Geometria Não Euclidiana

INTRODUÇÃO

A geometria é uma área da matemática que tem uma fundamental importância em nosso cotidiano, a partir dela foi possível estudar as formas de tudo o que compõe o universo.

O estudo dessa geometria teve início com Euclides, ele escreveu mais de uma dezena de obras, uma delas denominada de "OS ELEMENTOS" que possuía treze volumes, onde cada volume tratava de um assunto específico, essa obra trazia em sua essência toda geometria que conhecemos hoje, e chamamos de geometria euclidiana.

Mas por volta de 1820 um grande matemático da época chamado Gauss começou a se interessar pela existência de uma geometria que não fosse à de Euclides, a geometria de Euclides ela é aplicada em superfícies planas, e essa teoria não poderia ser aplicada a superfícies curvas. Por exemplo, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, em uma superfície plana, mas não podemos afirmar isso se a superfície em que se encontra esse triângulo for curva.

Surgiu então a necessidade de se estabelecer uma nova geometria para que fosse possível resolver esse tipo de questão.

Com isso Gauss concluiu que uma geometria diferente da de Euclides era possível, mas não divulgou suas idéias. Em 1829 Lobachevsky e em 1832 Johann Bolyai publicaram seus trabalhos sobre uma nova geometria.

O motivo pelo qual Gauss não publicou seus trabalhos sobre a nova geometria, foi que em sua época a geometria euclidiana era uma verdade única e incontestável, mas Gauss sabia que essa idéia era totalmente falsa, mas para não entrar em conflitos com filósofos e matemáticos da época, ficou em silêncio.

Lobachewsky e Ostrogradsky foram ambos matemáticos russos, mas diferiam na matemática. Ostrogradsky estudou em Paris, Lobachewsky por outro lado estudou em linhas mais Alemãs e geométricas. Assim Ostrogradsky teve apreciação de seu trabalho e Lobachewsky não. Mas hoje o nome de Ostrogradsky é relacionado a um único teorema, enquanto Lobachewsky é tido como Copérnico da geometria, o homem que revolucionou a geometria pela descoberta de um ramo novo, mostrando que a geometria de Euclides não era uma verdade incontestável que até então supunha ser.

A descoberta da geometria não-euclidiana foi como um golpe na filosofia da época, que foi comparado com a descoberta e introdução dos incomensuráveis no pensamento pitagórico. Em 1829, Lobachewsky publicou um artigo, sobre o princípio da geometria, que marcou o nascimento oficial da geometria não-Euclidiana.

O primeiro grande matemático a reconhecer a sua importância foi Georg Reimann (1826/1866), quando desenvolveu a teoria geral das variedades, em 1854, legitimando, de uma maneira muito clara, a geometria-não Euclidiana. A aceitação total da Geometria Não-Euclidiana só se estabeleceu após a morte de Reimann.

A geometria não-euclidiana se divide em vários segmentos, temos, por exemplo, a geometria fractal, a geometria projetiva, a geometria esférica e a hiperbólica.

Nesse trabalho estaremos abordando as geometrias esférica e hiperbólica.

Mas antes, vejamos os que são essas geometrias citadas a cima.

Geometria Hiperbólica:

Lobatschevski matemático russo que dedica-se ao estudo do Postulado das Paralelas. Rompe com o 5º Postulado Euclidiano, e cria o que chamou geometria imaginária que mais tarde torna-se a geometria hiperbólica.

Independente de Lobatschevski, Bolyai realiza estudos sobre o Postulado das Paralelas e chega a uma nova geometria, que chamou de Ciência Absoluta do Espaço, que passa a ser conhecida como geometria hiperbólica.

Geometria Esférica:

RIEMANN acredita que a geometria não deve tratar necessariamente de pontos e retas ou de espaço no sentido ordinário, e sim de coleções combinadas sob determinadas regras específicas. A geometria por ele proposta trata-se de um plano como uma superfície esférica e a reta como um círculo máximo sobre a esfera. A geometria esférica deu contribuição para o estudo geral dos espaços métricos que mais tarde possibilitou o desenvolvimento da Teoria Geral da Relatividade.

Geometria Fractal:

Benoit Mandelbrot, na década de 70 introduziu uma geometria de dimensões fracionárias que quando ampliada apresenta uma crescente complexidade, fractal é uma forma geométrica irregular ou fragmentada que pode ser subdividida em partes, e cada parte será (pelo menos aproximadamente) uma cópia reduzida da forma toda. Os fractais são geralmente semelhantes entre si e independentes de escala. Esta geometria constitui-se como importante ferramenta para representação do mundo físico/formas da natureza, e até mesmo da abstração sensorial da mente humana.

Geometria Projetiva:

É o estudo das propriedades descritiva das figuras geométricas. Geometria Projetiva se utiliza de elementos ideais no infinito, há uma simetria notável entre pontos e retas. A geometria projetiva surge com as dificuldades dos artistas do Renascimento, para dar aos quadros que pintavam uma forma real dos objetos inspirados de modo que as pessoas ao olharem o identificasse sem dificuldades.

Isso levou os artistas a estudarem profundamente às leis que determinassem a construção dessas projeções, com esses estudos eles chegaram a teoria fundamental da perspectiva geométrica, que se expandiu, por um pequeno grupo de matemáticos franceses motivado por Gerard Desargues.

Como citado anteriormente, falaremos agora específicamente das geometrias esférica e hiperbólica.

Vamos agora ver de uma maneira mais prática como essa geometria funciona.

Um homem partiu de certo ponto na terra, andou 100 km para o sul, 100 km para o leste e 100 km para o norte, dessa maneira voltou ao ponto de onde ele partiu.

Vamos fazer um desenho para entendermos melhor o que aconteceu:

A primeira vista parece que o problema não tem solução, pois o ponto de chegada diferiu do ponto de partida.

Mas agora temos que levar em consideração que a superfície terrestre não é plana e sim curva, então eis o que aconteceria:

A dificuldade na solução desse tipo de problema é que estamos condicionados a pensar de imediato na geometria plana, mas com o surgimento da geometria não-euclidiana temos uma nova maneira de resolver o problema.

Isso ocorre por que em superfícies não planas, ou curva, não há linhas retas. Em uma esfera, a menor distância entre dois pontos não é uma linha reta, mas sim uma quase linha reta, que é chamada de círculos. Sobre a terra os círculos são chamados de geodésicas.

As geodésicas, na geometria não-euclidiana, tomam o lugar das retas da geometria de Euclides, portanto quando falamos que a soma de dos ângulos internos de um triângulo é diferente de 180º estamos nos referindo á um triângulo geodésico.

Mas o que realmente levou esses grandes matemáticos a se interessarem por uma geometria que ia de encontro com o que se sabia, referia-se ao quinto postulado de Euclides: "Se por uma linha reta r, interceptada por duas linhas r1 e r2, a soma dos ângulos internos do mesmo lado somados, forem menores que a soma de dois ângulos retos, essas duas retas r1 e r2, se prolongadas indefinidamente interceptam-se em um ponto".

O que aconteceu foi que esses matemáticos investigaram o que aconteceria se o quinto postulado fosse desprezado e através de um ponto C não situado sobre uma dada linha reta AB, pudéssemos traçar não uma, mas duas, e consequentemente um número infinito, de linhas paralelas a AB.

Nesse momento perceberam que tinham uma nova geometria com várias características únicas, e, por exemplo, o fato da soma dos ângulos internos de um triangulo ser diferente de 180º, depende das dimensões lineares do triangulo.

Diferente da geometria de Euclides, essa geometria é definida sobre um espaço curvo (esférica ou hiperbólica).

Referências

C. B. Boyer, História da Matemática, 2º ed. Editora Edgard Blucher ltda. P 359.

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/alice/geometria_ne.htm acessado em 18/09/2007

http://www.on.br/site_edu_dist_2006/pdf/modulo3/a_geometria_dos_espacos_curvos.pdf acesso em 14/09/2007

S. B. de Matemática, Matemática Universitária, Dezembro de 1987, Editora Pax. P 25.

A Geometria dos Espaços Curvos ou Geometria Não-Euclidiana – obsrvatório nacional.