EQUAÇÕES DIFERENCIAS COMO FERRAMENTA DE ANÁLISE EM ENGENHARIA

EQUAÇÕES DIFERENCIAS COMO FERRAMENTA DE ANÁLISE EM ENGENHARIA ¹ Eduardo C. Venâncio de Souza ²  RESUMO Na engenharia, temos em diversas aplicações a utilização da matemática na forma de cálculos de equações diferencias para a solução de problemas e analises afim de identificar pontos para a fabricação, maximização de recursos (redução de materiais, para obter menor gasto e peso total) montagem, pontos frágeis em estruturas metálicas, vigas, colunas e outros componentes. Com os cálculos, vamos melhorar a produção com otimização dos recursos, tempo de execução, redução de custos, fabricação e manutenção. Equações diferenciais são equações que relacionam funções (relações entre variáveis) e suas derivadas. Ou seja, relacionam taxas de variação de variáveis. Também podemos dizer que equações diferenciais são equações cujas incógnitas são funções e suas derivadas. Assim resolver uma equação diferencial é encontrar uma função que satisfaça a equação, ou ainda, é uma função que a satisfaz sob determinadas condições. A solução geral de uma dada equação diferencial representa uma família de curvas, pois para cada valor da constante temos uma função que pode ser representada geometricamente por uma curva. Essa família também é chamada de curvas integrais da equação diferencial. Muitas vezes o interesse está numa das curvas integrais, escolhida mediante uma condição inicial. Nesse caso a solução que satisfaz uma condição inicial é denominada solução particular ou solução de um problema de valor inicial. Essas idéias levam ao conceito de equações diferenciais de variáveis separadas, que são equações diferenciais cuja solução pode ser obtida mediante integração direta. Assim equações diferenciais de variáveis separadas são equações diferenciais cujas variáveis podem ser separadas, gerando uma equação diferencial do tipo: f(x)dx = g(y)dy 1.Introdução Nesta atividade, vamos compreender a utilização de equações diferenciais para modelagem e análise em situações reais de engenharia. Sendo assim, estudaremos a flambagem de colunas em estruturas metálicas, utilizando para isso as equações diferenciais da curva de deflexão de uma viga. Essas equações são aplicáveis a uma coluna flambada porque a coluna flerte como se fosse uma viga. 1. Paper apresentado à disciplina de Matemática Aplicada, da Unidade de Ensino Superior Dom Bosco - UNDB. 2. Aluno do 5º período do Curso de Engª de Produção, da UNDB. 3. Professor Mestre Atuo na área de manutenção mecânica há 19 anos e, por experiência, sei da importância que os cálculos estruturais são de essencial importância para a especificação dos materiais, tipos de perfis a serem utilizados, principalmente nos tempos atuais, onde os projetos têm de ser cada vez mais planejados em relação aos custos, afim de evitar desperdícios de matérias primas e orçamento. 2.Desenvolvimento Os sistemas mecânicos e estruturas em geral quando estão submetidos a carregamentos, podem falhar de várias formas, o que vai depender do material usado, do tipo de estrutura, das condições de apoio, entre outras considerações. Quando se projeta um elemento, é necessário que ele satisfaça requisitos específicos de tensão, deflexão e estabilidade. Figura 1- Flambagem de uma coluna devido a um carregamento axial de compressão P. 2.1 Definição: Elementos compridos e esbeltos sujeitos a uma força axial de compressão são chamados de colunas e a deflexão lateral que sofrem é chamada de flambagem. Em geral a flambagem leva a uma falha repentina e dramática da estrutura. Figura 2 – Exemplo de alguns elementos acoplados com pinos usados em partes móveis de maquinaria, como este elo curto, estão sujeitos a cargas de compressão e, assim agem como colunas. 2.2 Cálculo da Carga Crítica ( Pcr ) Definição: É a carga axial máxima que uma coluna pode suportar antes de ocorrer a flambagem. Qualquer carga adicional provocará flambagem na coluna. Para compreender melhor esse tipo de instabilidade, considere um mecanismo formado por duas barras sem peso rígidas e acopladas por pinos nas duas extremidades. Figura 3 –(a) Mola com rigidez k sem deformação (b) Deslocamento do pino em A de uma posição Figura 3 (c)- Δ Diagrama de corpo livre. Tipos de equilíbrio P< kL - Equilíbrio estável 4 P > kL - Equilíbrio Instável (1) 4 P= kL - Equilíbrio Neutro - Carga Critica 4 Os estados de equilíbrio apresentados na expressão (1) estão mostrados na Figura 4. Figura 4 - Estados de equilibro do mecanismo da Figura 3. As três condições de equilíbrio representadas pela Figura 4, são similares àquelas de uma bola colocada sobre uma superfície lisa, como na Figura 5. Figura 5 – Bola em equilíbrio, estável, instável e neutro. Colunas com Apoios Simples (Pinos) A coluna da Figura 6 é carregada por uma força vertical P que é aplicada através do centróide da seção transversal da extremidade. A coluna é perfeitamente reta e é feita de um material elástico linear que segue a lei de Hooke. Uma vez que se considera que a coluna não tem imperfeições, ela é chamada de coluna ideal. Figura 6 - Coluna com extremidades apoiadas por pinos: (a) Coluna Ideal, (b) Forma em flambagem (c) Força axial P e momento fletor M agindo na seção transversal. Comportamento da Coluna Ideal Se P < Pcr , a coluna está em equilíbrio estável na posição reta. Se P = Pcr , a coluna está em equilíbrio neutro tanto na posição reta quanto na posição levemente flexionada. Se P > Pcr , a coluna está em equilíbrio instável na posição retilínea e irá flambar sobre a menor perturbação. Equação Diferencial para Flambagem de Coluna Para determinar os carregamentos críticos correspondentes às formas defletidas para uma coluna real apoiada por pinos, usamos as equações diferenciais da curva de deflexão de uma viga. Essas equações são aplicáveis a uma coluna flambada porque a coluna flete como se fosse uma viga. Tem-se a seguinte equação: EIν " = M (2) Onde, M = −Pν (3) E se a coluna flambar para a direita? Figura 7 – Coluna com extremidades apoiadas por pinos (Direção alternativa de flambagem) A equação diferencial da curva de deflexão se torna: EIv" = −Pν (4) A eq. (4) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Solução da equação diferencial Notação: P= EI . k² (5) A solução geral da equação (4) é: v=C1 sen(kx) + C2 cos(kx) (6) As duas condições de contorno são determinadas pelas condições de contorno nas extremidades da coluna. Como ν = 0 em x=0, então C2 = 0. E como ν = 0 em x=L, então: C1 sen (kL) = 0 (7) A equação (7) é satisfeita se: √ k L = n π (8) Ou: P.L²= n² π²EI, n=1,2,3... (9) O menor valor de P é obtido quando n=1, e a carga crítica para a coluna, é, portanto: PCr . L²= π²EI (10) P cr - Carga crítica ou carga axial máxima na coluna imediatamente antes da flambagem, essa carga não deve permitir que a tensão na coluna exceda o limite de proporcionalidade. E – módulo de elasticidade do material I – O menor momento de inércia da área da seção transversal. L - Comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades são apoiadas por pinos. Pcr Denomina-se também de carga de Euler em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, que solucionou o problema em 1757. Em projeto se utiliza a eq. (10) em função do raio de giração, onde o momento de inércia é: I = Ar² (11) Onde A e a área da seção transversal e r o raio de giração da área da seção transversal. Dessa forma tem-se: Pcr. L²= π²E(Ar²) (12) Dessa forma,a tensão critica e dada pela seguinte expressão: σcr . (L/r)²= π²EI (13) Onde: σcr - Tensão critica que é a tensão media na coluna imediatamente antes de a coluna flambar, essa tensão é uma tensão elástica e, portanto, σcr ≤σE E - módulo de elasticidade do material L - comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades são presas por pinos R - o menor raio de giração da coluna, determinado por r = √ A , onde I é o menor momento de inércia da área da seção transversal A da coluna. A forma fletida correspondente e definida pela equação: v= C1 sen.Lπx (14) Aqui a constante C1 representa a deflexão máxima, νmax , que ocorre no ponto médio da coluna como apresenta a Figura 8. Valores para C1 não podem ser obtidos, pois se desconhece a forma fletida exata da coluna. Por exemplo, se n=2 aparecerão duas ondas na forma flambada como na Figura 8.c. Figura 8 (a) Modo de flambagem para n=1 Figura 8 (c) Modo de flambagem para n=2 Representa-se o comportamento carga-deflexão da coluna ideal pelo gráfico mostrado na Figura 9. Figura 9- Comportamento carga deflexão para a coluna ideal. A carga crítica expressa em (10) independe da resistência do material dependendo apenas das dimensões da seção e comprimento da coluna (I e L) e módulo de elasticidade E do material que compõe a coluna. À medida que o momento de inércia sobe, a capacidade de carga da coluna sobe. As colunas eficientes são projetadas de tal forma que a quantidade de material fique mais distante possível dos eixos principais. Nota-se também que a coluna sofrerá flambagem em torno do eixo principal da seção transversal de menor momento de inércia (o eixo mais fraco), por exemplo, uma coluna de seção retangular sofre flambagem em torno do eixo a-a como apresenta a Figura 10. Figura 10 – Flambagem da coluna em torno do eixo com menor momento de inércia. Os engenheiros tentam construir colunas onde os momentos de inércia em relação à x e a y sejam iguais, por isso que colunas na forma de tubo ou quadradas são ideais.A figura 11 apresenta colunas com seção tubular. Figura 11 - Colunas interiores de seção tubular para sustentação da cobertura de um prédio. Referências 1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 1995. 2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning 3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000. 4. NBR’s: 1476:2001, 8800:1986, 8681:2003 e 14611:2000